Магазин готовых дипломов, курсовых и рефератов
Библиотека студента

Эвристика. Ч. 2

11. СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ И СУПЕРПОЗИЦИЯ

Формулируя проблему Гольдбаха в общем виде, мы не останавливались на исследовании частных случаев и продолжали их приводить лишь для того, чтобы подтвердить ее в других частных случаях. Тем самым мы применили специализацию. Специализация - это переход от рассмотрения данного множества объектов к рассмотрению подмножества объектов исходного множества. Прибегая к специализации, мы стараемся выделить более доступную часть задачи. Специализация как эвристическая операция представляет один из видов односторонней редукции.

Пусть сформулирована задача, основным объектом которой является треугольник общего вида. Если нам не удалось ее решить, то, специализируясь, мы можем рассмотреть задачу с равнобедренным треугольником или даже равносторонним. Специализация преследует цель выявить свойство на частных случаях, в которых оно должно проявляться. Это закономерно, так как если свойство справедливо для треугольника общего вида, то оно справедливо и для его частного вида - равнобедренного и равностороннего треугольников. Здесь не может быть противоречия (противоречие - наличие двух высказываний, из которых одно является опровержением другого). Часто специализация используется для опровержения некоторого утверждения (опровержение -обоснование ложности какого-либо утверждения или совокупности утверждений). Чтобы опровергнуть нечто, мы специализируемся, т.е. находим такой элемент множества, который не соответствует общему правилу. Рассмотрим пример задачи на доказательство.

Пример. Доказать, что для всякого треугольника

г + R< Н,

где r - радиус вписанной окружности; R - радиус описанной окружности; Н - наибольшая высота. Если попытки доказать или опровергнуть теорему не достигают цели, то можно применить специализацию. Рассмотрим теорему для равностороннего треугольника.

О - центр описанной окружности; О, - центр вписанной окружности.

2

Далее рассмотрим более общий вид - равнобедренный треугольник с углом при вершине меньше и больше 60 0:

В случае а) теорема справедлива, но в случае б) справедливость теоремы не подтверждается, а это доказывает, что исходная теорема ложна.

Специализация может выступать как элемент метода суперпозиции (суперпозиция - метод выделения частного случая в задаче с целью доказательства при посредстве общего случая), который рассмотрим на примере.

Пример. Пусть надо доказать утверждение, что центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на то же основание, т.е. на ту же дугу:

< АОВ - центральный угол;

< ACB - вписанный угол.

Доказательство начнем с благоприятного частного случая (специализируемся), когда одна из сторон вписанного угла совпадает с диаметром:

В этом случае очевидно, что < AOB = 2< ACB, и утверждение справедливо для этого частного случая.

Доказательство можно провести так: < СОВ = 180° - 2< OCB, так как АОСВ равнобедренный и < OCB = < OBC. < AOB + < COB =180', или < AOB + 180- - - 2< OCB = 180', где вместо < COB подставили его значение, найденное из АОСВ. После преобразования получаем, что < AOB = 2< OCB. Если же такой случай не имеет места, то общий случай можно свести к двум частным случаям, проведя диаметр.

Общий случай (диаметр проведен штрихами)

Центральный

Результат задачи достигнут в два этапа. Сначала выделили благоприятный частный случай, а затем с его помощью доказали общий. Проведя конъюнкцию (конъюнкция - логический эквивалент грамматического союза «и»; операция, формализующая логические свойства этого союза), т.е. объединив оба этапа, получили полное решение, пригодное в общем случае. Этот метод обычно называют суперпозицией (лат.- наложение) частных случаев. Таким образом, отталкиваясь от ведущего частного случая, найденного на основе специализации, мы находим общее решение с помощью суперпозиции частных случаев.

Специализацию и суперпозицию можно считать умственными экспериментами. Значение умственных экспериментов очень велико и при решении технических, конструктивных задач. Нельзя собрать даже электрический звонок, если не умеешь мысленно экспериментировать. Осуществление умственного эксперимента предполагает совместную деятельность воображения и мышления: с одной стороны, нужно как можно точнее представить себе проблемную ситуацию, с другой - сделать умозаключение о том, какой результат должен вытекать из этой ситуации.

 

2009-05-16 02:52:51 Учебникивернуться к списку

← предыдущая страница    следующая страница →
123456789101112131415161718192021